物理學(xué)家名人故事：彭加萊_1500字

亨利·龐加萊 (JulesHenri Poincaré)是法國數(shù)學(xué)家、天體力學(xué)家、數(shù)學(xué)物理學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家，1854年4月29日生于法國南錫，1912年7月17日卒于巴黎。龐加萊的研究涉及數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、天體力學(xué)、數(shù)學(xué)物理、多復(fù)變函數(shù)論、科學(xué)哲學(xué)等許多領(lǐng)域。
提到龐加萊，可能人們最先想到的是著名的“龐加萊猜想”，不過這一小節(jié)我們聊聊龐加萊一段真實(shí)又有趣的故事，這個故事對于理解數(shù)理統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)這個模塊很有幫助。
我們買一些食品時，食品的重量多少會有些浮動，例如面包包裝袋的重量標(biāo)識可以這樣寫：
表示面包的重量應(yīng)該是1000g，但由于種種原因可能會有50g的誤差。龐加萊是個每天都會吃面包的人，他也遇到了同樣的事，一個面包師聲稱賣給龐加萊的面包平均重量是1000g，上下浮動50g。這位面包師每天都會賣個龐加萊一個面包，面對這位忠實(shí)的顧客，他沒有絲毫的防備，按照自己的買賣方式每天賣個這位數(shù)學(xué)天才1個面包，不過這位面包師的噩夢也從此開始。
在龐加萊眼中，面包應(yīng)有重量1000g，上下浮動50g，用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)就是：面包的重量服從期望為1000g，標(biāo)準(zhǔn)差為50g的正態(tài)分布。作為一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)家，龐加萊每天都會將買來的面包稱重，前9天的記錄數(shù)據(jù)（單位g）如下：
981   972   966   992  1010  1008   954   952   969
這組數(shù)據(jù)的期望（平均數(shù)）為x=978.2，盡管期望小于1000g，但也有50g的浮動，從感覺上盡管有些不爽但也難說有問題，不過對于身為數(shù)學(xué)家的龐加萊有8成的把握認(rèn)定面包師在制作過程中偷工減料。但此時證據(jù)難說確鑿，龐加萊決定按兵不動，繼續(xù)記錄了16天，累計(jì)25個數(shù)據(jù)如下：
25天的記錄數(shù)據(jù)的平均數(shù)為978.7g，略有增加，但此時龐加萊有95%的把握認(rèn)定面包師在制作過程中偷工減料。
龐加萊果斷舉報給質(zhì)檢部門，當(dāng)質(zhì)檢員到來時，面包師百般抵賴，聲稱自己做的面包就是以1000g為基準(zhǔn)做的，最多有上下50g的誤差，從龐加萊提供的數(shù)據(jù)中，全部符合他描述的規(guī)律，一時間質(zhì)檢工作人員也無可奈何。但這位面包師可能還不認(rèn)識他的對手，一位精通假設(shè)檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)家，下面是龐加萊的證詞：
第一點(diǎn).如果面包師的說法的正確的，則每個面包的質(zhì)量X服從以1000g為期望，50g為方差的正態(tài)分布
這點(diǎn)倒是沒什么問題，好像25個面包的每一個都服從這個規(guī)律。但是25個面包的平均值也服從正態(tài)分布，這就是重要的第二點(diǎn)。
第二點(diǎn).25個面包的平均數(shù)也服從正態(tài)分布，期望依然是1000，不過方差卻改變了，計(jì)算公式如下：
也就是說25個面包的平均重量服從以下正態(tài)分布：
面包師和質(zhì)檢人員表示沒聽懂，這能說明什么？龐加萊給出了通俗的解釋：一個面包的重量波動的會大一點(diǎn)，多個面包的平均重量的波動范圍就會小很多。就想你投擲骰子，投擲1次可能的點(diǎn)數(shù)是1到6中的任意一個，但是如果你投擲100次骰子，這100次總數(shù)的平均值基本就是3.5這個常數(shù)，不信您可以試試。面包師和質(zhì)檢員基本理解了這個道理，繼續(xù)聽龐加萊的第三點(diǎn)說明。
第三點(diǎn).既然25個面包總重量的均值服從期望為1000g，方差為10g的正態(tài)分布，我們先看看正態(tài)分布數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)，如圖：
從上圖中可以看出，95.44%的數(shù)據(jù)落入以期望1000g為中心，2倍方差為浮動（即20g）的范圍里，即[980,1020]。換句話說，如果面包師嚴(yán)格按照1000g為基準(zhǔn)，50g為浮動制作面包，那么25個面包質(zhì)量的平均值，將有95.44%的可能性落入[980,1020]這個范圍里，相反低于980g或者高于1020g的概率還不到5%，所以面包師一定故意偷工減料了。
聽過了龐加萊對假設(shè)檢驗(yàn)的科普，質(zhì)檢員對面包師做了處罰，面包師也承認(rèn)自己確實(shí)是以980g為基準(zhǔn)做的面包，并同意做出改正。